Главная Помехоустойчивое кодирование



где * = 2- 2= 2(1? - 1); 1? = 2 д = Г. Вообще справедливы равенства

позволяющие от представления ГТ-преобразования в виде столбца переходить к строчному представлению этого преобразования. С другой стороны, имеют место соотношения

а а.

Та*--

* *

q+l~r

Таким образом, транспонирование результата ГТ-преобразования для вектора д эквивалентно делению на константу а ~ (умножению на а 1" = д ) и перестановке компонент зтого вектора.

Подобным образом можно вычислить также следующие произведения а Г, Та и т.д.; конечные результаты представлены на рис. 4.16. Понятно, что зти результаты вытекают из свойств (4.29) и (4.30) матриц Г и Т; нужно лишь доказать, что

rifl = fl = Tifl

Г1 fl = fl = Tl fl

fl Г/ = fl

7т[;Тг[ =ааГ(,

(4.32)

т. е. что при умножении векторов fl,fl или а, fl на строку Г1 и на столбец г[ происходит транспонирование вектора и перестановка его компонент, а при умножении на строку Т и на столбец Tf* только транспонирование вектора. Но это сразу следует из того факта, что для любого поля GF(2) размерности г десятичные номера 1, 2, .. . , /• представляются двоичными векторами, содержащими строго по одной единице - это вытекает из самой процедуры порождения поля. Например, для GF(2*) имеем 1 (0001). 2 (0010), 3-«(0100), 4-* (1000). Поэтому

[1 2 3 4]fl= [(0001) (0010) (0100) (1000)]

fl3 fl2

Lflo

[(000fl3) + (00fl2 0) + (Ofl 00)+(floOOO)] =

= (flo fli fl2 Аз) = a .



правое

г-прео бразование

l Та - \

f-2 -Г

tq+\-г

) ... (flafc)]

левое

• • • t

* й ъ

[(а ){а а) ...

. (а V-(fl V-)]

т-преобразование

правое

г -2

г -1

[{а а ){аа

t.2-r

{{а ) ...

левое

2 -г

t «

q + 1-r

[(fl)(ea)...«rV-2)(eV-)]

рис. 4.16. векторное преобразование ганкеля-теплица



Аналогично проверяются и остальные соошошения (4.32).

Итак, для левого и правого произведений вектора а на векторные ганкелевы Г и теплицевы Т матрицы, т. е. для левого и правого векторных Г- и Т-преобразо-ваний, раведливы равенства, приведенные на риа 4.16. Основные соотношения для указанных преобразований представлены на риа 4.17, а-в, д.

Покажем, например, как расшифровывается последнее равенство на рис. 4.16 при замене вектора д на д . Для поля GF(2), 7т(х) =: + х+ i имеем

Go fli

flo fli fl2 fli fl2

flo fli (fl2+floy

fli (fl2 + flo) (flo +fll)

a) Соотношения для Г-преобразования

(flr=rfl

(fl rS

(Ffl ) =fl

6) Соотношения для Т-преобразования

(flT) = Tfl

(Tfl = flT;

(fl T) = Tfl

(Tfl = flT

в) Связь Г- и Т-преобразований:

Тг = flT

г) Соотношения для скалярных Г- и Т-преобразований

flr = ат

аГ= flT;

rfl = (flD = (flT ) =Tfl

д) Универсальные соотношения:

(flH)

fl = flTS;

(Hfl) = ah

Ял = Hfl

ще Н 6 !Г,Т); Т= Т;7= Г; я


Рнс. 4.17. Соотношения для преобразования Гйнкеля-Теплица



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [58] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0126