Главная Помехоустойчивое кодирование



где ступенчатая фигура приводится к квадратной матрице по правилу устранения переносов на основе уравнения ir{x) - О, из которого следует + х , х =

Скалярное ГТ-преобразование Векторное ГТ-преобразование основано на векториых ганкелевых и теплицевых матрицах. Матрицы Г и Т (4.28), составленные из модифицированных логарифмов (десятичных номеров) элементов поля,

будем называть скалярными, а левые и правые произведения злементов а или а на эти матрицы - соответственно левым и правым скалярным ГТ-преобразова-нием. При необходимости подчеркнуть, какая именно использована матрица - Г или Т, уточняем: скалярное Г- или Т-преобразование. В отличие от векторного ГТ-преобразования при скалярном преобразовании замена модифицированных логарифмов соответствующими векторами осуществляется на последнем этапе ~

после умножения элемента а или на скалярную Г либо Т матрицу. Поясним сказанное примером.

Пусть задано поле GF(2*), 7г(:)с) = лс+:)с+1 ид = (fliflo). тогда

дТ= (fll До)

2 1

.3 2j

= [(2fli+3flo)(lfli + 2flo)]

т [(lO)fli + (ll)flo (Ol)fli + (lO)flo] = [(fll +flo)flo flofli] = [Л a д ].

Ha рнс. 4.18 приведены равенства для левых произведений векторов fl, а на скалярные Г и Т матрицы, т. е. для левых скалярных Г- и Т-преобразований, а на рис. 4.17, г - соотношения для этих преобразований. Связь векторного и скалярного ГТ-преобразований отражена на рис, 4.17, д (векторные матрицы выделены полужирным Шрифтом, скалярные - светлым).

Правила и примеры транспонирования (главного и побочного, скалярного и векторного) представлены на рис 4.19. Ряд полезных соотношений для операций транспонирования и перестановки строк и столбцов матриц Приведен на рис 4.20. Особо подчеркнем, что определители Г и Т матриц равны нулю (обратного ГТ-преобразованйя не существует).

в заключение заметим, что ганкелева Г (4.28а) и теплицева Т (4.286) матрицы могут быть представлены как скалярные произведения векторов:

Г = [1, 2,..., г] - [1.2.....z-]; Т = [1, 2,. .к,г] • [г, г~ 1,. . ., l] ,

г-п рео бразование

аГ =

= [(7) (Та) ... (7 </~)]\

Тг :

= [(fl)(fla) ... (Аа~Ъ1

- 1

Т -преобразование

flT =

: [(Та"") ... (7а) (а )];

"Тт

= [(fltt-) ... (fla)(fl)]

Рис. 4.18. Левое скалярное преобразование Ганкеля-Теплица



Главное скалярное (О транспонирование А, а


«


Главное векторное (г) транспонирование А, а

А" =


Побочное скалярное (Г) транспонирование А,а


ПобоЧное векторное (т) транспонирование А, а


J

Примеры транспонирования

А=[а] =

(CiCo) (rfio).

ft ft

0/ yoj


I (3 C;) J

«

"(fliflo) "

>1&о)

; a =

«1

bo bi

[ fc) \



Рис. 4.19. Транспонирование векторных матриц и составных векторов



Скалярные матрицы и простые векторы:

(а) = А

а= (а) = ( aJ);

= ( Ai) = \=CX) а»

а = Т; а = (Т) = а а =

( А ) - А

(А*);

(а )

-Векторные матрицы и составные векторы:

СА) ФА; А= а Н

("А)

а; ( а )t= ( аЪ = а;

А¥=А; (А) = Ч=А)¥=А


(А)= (•А) = (А); =(А() = (А)= Ah Са)\ = (А); АН (А);

; а = ( а )

(а )

а ; а = {7) =

Рис. 4.20. Некоторые соотношения для операций транспонирования (t и г),пере

становки строк и столбцов произволы1ых матриц и векторов

В свою очередь каждый из векторов последних соотношений, а следовательно, матрицы Г и Т, могут быть факторизованы в произведение слабозаполненных матриц. Например:

" 1"

" 1 2

о"

«

11, 2, 3, 4]

= 1Ь2] •

"1

0"

0 2

0"

"2

0"

[4, 3. 2, 1]

= [2,1] •

Однако подробнее возможности подобной факторизации здесь не рассматриваются.

Сопровождающая матрица. Элементы поля GF(2) можно задать и с помощью так назьюаемой сопровождающей матрицы М примитивного полинома 7т{х) и ее степеней. Такая матрица определяется соотношением

О О О О

1 О flo tfi

d d о



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [59] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0135