Главная Помехоустойчивое кодирование



Раскрывая скобки в правой части, приводя подобные члены относительно степеней z и приравнивая коэффициенты в обеих частях последнего выражения, приходим к соотношениям

а\ +5i +Ci = 1; ai(bi +Ci) =£1; b,ci =£2-

Исключая сумму bi + Ci из первых двух тождеств (5.50 чаем кубическое уравнение относительно а i:

af +Л1 +£1 = 0.

Аналогично, исключая Ci из первого и последнего тождеств находим

в + (1 a])bi +£2=0;

(5.50)

(5.51)

(5.52) (5.53)

{3 + р + Di = О,

где/)1=£2/(1+?); i3=5i/(l+J).

Следовательно, процедура решения канонического уравнения (5.42)

сводится к следующему:

1) решить относительно Л1 кубическое уравнение (5.51);

2) решить относительно bi уравнение (5.52) при некотором значении Л i из предьщущего пункта;

3) вычислить Cl = Ег1Вх\

4) решить относительно z пару квадратных уравнений в правой части тождества (5.49).

таблица 5.6

Орбитальные представления параметров ции корней zi, z2, z3,24 уравнения z* + z+mz + i = 0 над полем GF{2), г = 4 ... 6

2 2 4 6 6 6 6

49 4

3 4 1

15 5

16 7

41 15 2 31 34 43 13

53 35 23 46 58 48 21

59 61 44 59 60 51 22

22 22 24 28 28 28 32

22 27 33 19 28 30 2

1 14

2 24

1 15 6

42 8 38 15 29 10 17 30

53 29 46 24 36 31 21 35

57 50 58 58 59 52 43 60



Таким образом, решение произвольных уравнений четвертой степени на основе промежуточной канонической формы (5,45) сводится к решению лишь кубического и квадратных уравнений.

Пример 5.12 . Пусть коэффициенты уравнения (5.40) над полем GF(2*) принимают следующие значения: А = 5, В = 8, С = 13, Z)= 9. Тогда подстановка х = у" +5 (5.43) трансформирует это уравнение в уравнение (5.44), где йз = 6; й2 - 12; ai = 5; ао = 1. Полагая= 4z, получаем уравнение (5.45), где £"1 = 6; £2 = 14.

Из табл. П.4 для уравнения (5.51) с £i = бе GF(2*) найдем три корня 11, 12, 15. Выберем, к примеру, Л i = 11. Тогда коэффициент при Bi в выражении (5.52) будет 1 А \ = 11, а в (5.53) Di = 9. Из табл. П.З для Di = D = 9 е GF(2) найдем две величины 12 и 13, так что корнями уравнений (5.53) и (5.52) являются соответственно значения ]3 = 12 (j3" = 13) и В[ - 1 (Bl = 8), а параметр Ci равен 8 (либо 9).

Далее необходимо решить одним из методов, изложенных в § 5.1, квадратные уравнения в правой части тождества (5.49) с найденными выше параметрами: i=ll;5i = 7;Ci = 8.

Например, вычислив параметры d2 = BijAl = 2 и £)з = Ci/Aj = = 3, из табл. П.З для GF(2*) найдем две пары значений - 8, 10 и 4, 15. Следовательно, уравнение (5.49) имеет следующие корни: Zi = SAi =3; z2 = 101 =5; z3 = 4Ai = 14; z4 = 15 = 10. Восстанавливая переменную х= у~ + 5 = (4z)~* + 5, окончательно найдем множество (з, 6, 10, 8} значений для корней уравнения (5.40) с заданными коэффициентами.

Эти значения совпадают со значениями, найденными ранее другим методом - см. в табл. 5.5 строку, соответствующую г = 4.

Универсальнью методы решения уравнений четвертой степени даны в § 5.5.

5.4. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ

Приведение к каноническому виду. Зададимся достаточно общей формой уравнения пятой степени

+ Лд: + Вх + Сх -h Dx+ Е= О, £=г0, GF(2"). (5.54)

Если £ = О, то один из корней равен нулю и происходит очевидное понижение степени уравнения. Уравнение (5.54) может быть канонизировано с помощью следующих подстановок.

1. Замена переменной л: = X + у дает

y-h(A + X)/ + By"" + (ХВ + С)у + (Х + В\ + D)y +

+ Х* + ЛХ + 5Х + СХ + /)Х+ £= 0. (5-55)



Полагая X = А, в уравнении (5.55) можно исключить член четвертой степени:

+ Gy -h Ну ly + J = О, (5.56)

где С = 5; Н = АВ + С; 1=А + ВА + D; J = ВА + СА + DA + + е.

Мы, однако, пока поступим по-другому. Выбрав \ - С/р (в предположении, что В Ф 0), исключим в уравнении (5.55) квадратный член:

+ уу" + Ву + Ру + а = О, аФО, (5.57)

где7=>И-Х; (5=Х + СХ+ D; а + АХ"* + DX+ Е.

Если а = О, уравнение (5.57) имеет нулевой корень и степень уравнения понижается. При Л = О, обозначив л: = w, А = a,C=b,D = c, E = d, сразу перейдем от уравнения (5.54) к уравнению (5.58) без кубического члена.

2. Используем подстановку у 1/w, w О, тогда из (5.57) получим уравнение без кубического члена:

+flw* +bw +CW + = 0, (5.58)

где а - р/а; b = В/а; с - у/а; d ~ 1/а, причем ЬФО, так как по предположению, сделанному выше,В ФО.

3. Новая подстановка w = л + ? позволяет исключить слагаемое, соответствующее :

(5.59)

+5? + е=о,

где 5 = /г =й*+с; Q = bас-У d.

4. Наконец, полагая t = zS, получаем каноническую форму, всего с двумя параметрами:

+z +0Z + 6 = 0, (5.60)

Преобразования можно провести и шаче, так чтобы каноническое уравнение содержало кубический, а не квадратный член [8, 54].

В табл. 5.7 собраны преобразования для уравнений порядка п -= 2 . . . 5, приводящие их к каноническим формам.

Табличный метод. Орбитальные предсгавления. Каноническое уравнение (5.60) содержит два параметра: в и е, поэтому можно составить "двухвходовые" таблицы его корней. Неравные корни этого уравнения для поля GF(2) сведены в табл. 5.8. Эту таблицу можно сжать так же, как и аналогичные таблицы корней для уравнений меньших порядков, если перейти к орбитальным представлениям. Так, уравнение (5,60) надполем GF(2) имеет всего две орбиты (табл. 5.9).

Приведем несколько примеров решения уравнений пятой степени.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [70] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0092