Формулы для приведения уравнений степени л = 2 ... 5 к каноническому виду над полем GF (2 )

Таблица 3.7

уравнение

+ах + в = о

х +ах +вх+ С= О

X +вх+€=0

х" + ах + вх + сх + d = О

ау + а2У +aiy + 1 = 0

преобразование

х = az

x = a+z{a+bf

канонический вид

+ Z +/)= О

z + z +£= О

х = в +1{а+вЪ z+z2+£=0

X = b/a+az

х= ic/a) + \/y

параметры

d = b/a

ав+с

{а +5)/

Z + Z + = О

(fi = ев

z+ z + tiz + V- q .

оъу +02У +а\у+ 1 = 0

х + ах + вх+ cx + dx + e=0

+ aw + bw + cw + d - о

+st +rt + e= 0

у = г{а2/азУ

x= с/в + lAv

w = fl + t

tzsf

z +z +exz+E2 = 0

M= (5 +/10/Л*;

V = {b + acb +ad)ia

«3 =

Z)+ ibc)ia + (С/аУ; 5+ (ЛС)*, fli=;

«2 =

+ JvH + Zjw + cw + cf = 0

+i/ +/г? + e =0

z +z2 +0Z + e = 0

fl = iS/tt; ft = c-y/a; d= l/tt;

a= Х + Лл + т + г; \=c/b\

r = a+c, q-ab+ac + d;

5 2

: уравнения пятой степени z + z над пол»« GF(2), г = 3... 5

таблица 5.8

GF(2), я = +а+ 1 Простых корней нет

Простых корней нет

GF(2), я = + 1

Из табл. 5.8 следует, что уравнение (5.60) для полей GF(2) и GF(2*) не имеет пяти неравных корней. Это означает, что любое уравнение пятой степени над этими полями в процессе приведения к каноническому виду (5.60) "теряет" свой порядок.

Пример 5.13. Зададимся пятью значениями: 1, 2, 3, 4, 5 G GF(2), которые примем в качестве корней уравнения пятой степени (л: + 1) X X (х + 2) (x+3)(jc+4)(x+5) =0, GF(2).

Раскрывая скобки, получим после преобразований

+2jc* +2x +4x2 + jc + 4 = 0, GF(2),

(5.61)

т. е. уравнение (5.54), где.4=5=2; С=4; D = l; Е4

Полагая X = дем его к виду + у1Х* +DX + E

= С/В = 3 и подставляя в уравнение (5.61) х (5.57),где7 = Х + 5 = 5; ]3 = Х** + XC + i) = -0.

; + 3, све-

3; а= Х +

«итальные представления параметров д, с и корней z ] уравнеиня z+z+ez+€ = Оиад полем GF(2)

таблица 5.9

Так как а = О, то охщн из корней уравнения (5.57) равен нулю, а степень уравнения понижается на единицу:

/+5/+2/ +3j; = 0, GF(2). (5.62)

Приводя уравнение (5.62) к каноническому виду (5.47) способом, изложенным в предыдущем параграфе, можно рассчитать параметры д = 1, 1 = О и формулу перехода - yzi+ В/у = Szi + 5, где Zi - переменная (вместо z) в уравнении (5,47).

Так как v = О, то один из корней уравнения (5.47) также равен нулю, а уравнение (5.62) удовлетворяется при у = 5. Кроме того, вновь имеем понижение степени уравнения, т. е. получаем

zf +Z? +1=0 (5.63а)

Z + Z2 + 1 = О,

где Zi = Z2 + 1.

(5.636)

Из табл. П.4 дпя параметра 1 g GF(2) найдем корни уравнения (5.636): Z2 = 2, Z2 - 3, zi" = 5, а по ним с учетом связи Zi = z2 + 1 -корни уравнения (5.63а): zJ =4; z{ = 7; zV = 6.

Следовательно, имеем множества корней:

для уравнения (5.62) - [;.=5z;+5=6; у" =7; У" =2;/" = 5] ;

дпя Уравнения (5.57) - {6, 7, 2, 5, о) .

Поочередно подставляя в формулу х = у + 3, GF(2) вместо значения из последних скобок, найдем для заданного уравнения (5.61) множество корней ( 4, 1, 5, 2, з) .

Пример 5.14. Зададимся теперь следующим набором элементов {З, 7, 10, 12, 15} g GF(2), принимаемых в качестве корней уравнения (5.54), коэффициенты которого находятся после очевидньц вычислений:

Л=9; 5 = 5; С= 15; D7; £=13.

Рассчитаем дпя « = 5 параметры из табл. 5.7: Х = С/5=11; а= +>1Х*+DX + £ = 5; /3 = Х + XC + D = 1;

= + Х = 2; а =]3/а= 12; b=5 =5/а =1; с = у1а= 13; d=lla=\2; /г=й+с = 6; 2 = йг, + дс + d = 0.

Так как 2 - О, то полином в левой части уравнения (5.59) фактори-зуется на сомножители t и + 5"?+/? = ?**+? +6. Выше (см. табл. 5.4)