Главная Помехоустойчивое кодирование



Ал =

1 1 1 ООО ООО 1 4 7

1 1 О .0 О О 10 13

0 0 0 0 0 11111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

о о о о о

0 о о о ()

1 1 1 1 t о о о о с)

(6.39)

в данном примере Пу = 5 > т =4, поэтому целесообразно пере-обозначить сомножители: Пу = 3, «2 = 5. Тогда можно в соотношении

(4.23), где д = 2, и = 15, матрицы Р, Фр исключить, матрицы Dp

и ф[р усечь, оставив в первой из них тпу = l2 строк и столбцов, а во второй - столько же строк.

Итак, четырехкомпонентный сшцфом (15, 11)-кода PC над полем GF(2) может быть найден на основании соотношений:

прии1 = 5,и2 = 3

при «1 = 3, «2 = 5

S =Нх

В4Р[1\фь ® Ез)х\

(6.40)

12 X 15

стандартной (с едишмной верхней строке 5.39), а матрица В а задается следующим

разом:

Ва =

1 О О О

1 1 0 0 0 0 0

0 0 1110 0

0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0

1 О О 1

о о о о

So Si

(6.41)

Проверка факторизации матрицы Н\ вводящей в соотношение (6.40), вьшолнена на рис.6.5. При использовании матрицы Я вычисляются следующие компоненты синдрома: So, Si, естественно, в предположении, что кодирование осуществлялось с помощью полинома g(z) [формула (6.2) при v = О]- При симметрии g(z) согласно соотношению (6.38), матрица Я домножается на матрицу Dis (6,37). При зтом следует учитьтать, что компоненты S- синдрома

будут иметь номера от /

г- I

0.5W + 1 = 7 до/

- 1 ==10, что и указано справа от матрицы (6.36)-

Пусть код PC над полем GF(2 j имеет ддину 2" а число т проверочных символов равно п~ к. Тогда

1 = и = «1 «2,

5 =Ях

где матрица Am получается из матрицы А (и® п) выбором т строк с номерами v - nyi (mod и- 1), / = 0,1,..., m - 1.



diagd.l.l; 1,2,3; 1,3,5; 1,4,7);


12X15

11111 11111 1 1 f 1 1

1 «I- 7 га 13

1 7 10 13

1 4 7 10 13

1 7 И 4 га

1 7 13 Ч 10 t 7 13 10

1 10 13 7

1 Ю if 13 7 1 Ю 13 7

12X12 12 X 15


1 1(Г 1* 15 7

1». 13 7 t 10 7 1 10 13

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

2 3 4

1 1 1

3 4 5

5 7 9

7 10 13

1 1 1

6 7 8

И 13 15

1 4 7

1 1 1 9 10 11

2 4 6 10 13 1

1 1 1 12 13 14 8 10 12 4 7 10

15 14 13


Рис, 6.5. Факторизация проверочной матрицыЯ (15,11)-кода PC (нулевые компо

ненты матриц опущены)



в более обшрм случае, если и = «i «2 ... "г»

1=2"

где - матрица размера т X образованная первыми т строками

матрицы Р in = Рп ® Фи).! =«2 Хиэ X.. X и;.; Р„ - матри-

ца разрядно-инверсных перестановок, строки и столбцы которой нумеруются числами N и N [см.вьфажение (4.24)]; а матрицы Z) и Ф

определяются так же, как и на рис. 4.11.

Пример 6.7. Вычислим синдром по формуле (6.40), Зададимся кодовым словом (635) : v = (vq, Vi,..,, vu), которое покомпонентно умножим (*) на вектор - главную диагональ матрицы D15 (6.37). В результате найдем вспомогательный вектор д::

v=(vo....,vi4) = (6, 8, 4, 7. О, О, О, О, 0. 1, 9, 5, 15, 7, 13) (.) (*)

/)i5=diag (1, 7, 13, 4, 10; 1. 7, 13, 4, 10; 1, 7, 13, 4, 10)

= (6,14, 1, 10, О, О, О, О, О, 10, 9, И, 12. 10. 7) =

-X - (xq, xi, х2,хз, д4, xs, xg, х7,х8,х9, хю» хц , хц, xj3, хц) .

Скалярное произведение матрицы А (рис. 6.5) на вектор х дает следующую систему равенств для составляющих промежуточного век-Topaz = (2o,2i,., 2п):

+ x3 + дгб + x9 + ххг = 4;

+ x4 + X7 +a:io +xi3 = 2;

+ Xg + Xs + Xn -f- a: 14 = 10;

+ 4x3 + 7Хб + 10X9 + 13Xi2 =

+ 4x4 + 7x7 + lOxio + 13xi3 =

+ 4xs + 7x8 + lOxii + 13xi4 =

+ 7X3 + 13X6 + 4X9 + 10X12 =

+ 7x4 + 1ЗХ7 + 4xio + 10xi3 =

X2 + 7x5 + 13X8 + 4Xn + 10Xi4 =

+ 10x3 + 4Хб + 13X9 + 7Xi2 =

2io = л:1 + 10x4 + 4x7 + 13xio + 7xi3 = 10; zii = X2 + lOxs -f- 4x8 + 13xii + 7xi4 = 9.

Далее вновь используем покомпонентное умножение, принимая

в качестве операндов вектор z и главную диагональ матрицы Dp (рис. 6.5):



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0361