Главная Помехоустойчивое кодирование



Если продолжить процесс деления далее, то будут получены компоненты 516 = Si = S\ S2 = 13; Ss = 7; 54 = 13; Ss = 15; S = 15,что свидетельствует о правильном вычислении продолжения 5* ,

Найдем теперь полу-НОД Pjj для z и 5:

Ь О, О, О, О, О, О : 15,15,13,7,13,8 = 2,2(1)

1, Ь 14, 8, 14, 9

1, 14, 8, 14, 9, О

1, 1, 14, 8, 14, 9

7, 6, 6, 4, 9 (ri)„;

15,15,13, 7,13, 8 : 7,6,6,4,9 = 9,12 (2)jy 15, 14, 14, 12, 2

3, 2, 2, 14, 8

3, 2, 2, 15, 5

3, 4 -Р(-2)я-

Воспользовавшись соотношением (6.42а), вычислим а:

PrrZ"" S

4, 3, О, О, О, О, О, О : 8,13,7,13,15,15= 12,9,10 4, 9, 3, 9, 11, И

1. 3, 9, И, И, О

1, 6, 15, 6, 8, 8

2, 7, 1, 7, 8, О

2, 7, 1, 7, 9, 9

12, 9 = R„

Откуда Off(z) = 122 + 92 + 10. На основании формулы (6.44) н



n ~ m

3, 4, 0, 3, 2, 5

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 :

3, 2, 5

10, 5, 0 10, 9, 12

6, 12, 0 6, 5, 8

14, 8, 0 14, 13, 1

3, 1, 0 3, 2, 5

10.9,12

5, 5, 0 5, 4, 7

8, 7, 0 8, 7, 10

9,1,12,5,9, 11,14,0, 1

10, 0, 0 10, 9, 12

9, 12 = R„.

Если продолжить процесс деления далее, то будут получены компоненты синдрома 5 = (15,15,13,7,13,8), Таким образом,

тель" принимаются полиномы

Заметим, что полиномы o{z), вычисляемые по формулам (6.42а) и (6.426), могут различаться на постоянный множитель (при Ф \ , 56 Ф 1), так же, как и векторы Rj,P/ и Rjj,Рц,получаемые при вычислении полу-НОД {z у S) и (z" , 5). В частности, в приведенном пр№ мере Off - SOf; Рц - Pj\ Rjj = SRj. Однако сами компоненты продолжений коррекции не требуют.

В литературе, например в [36], можно встретить и такую разновидность применения алгоритма Евклида формирования НОД при поиске полинома локаторов a(z); в качестве исходной пары "делимое - дели-

- 1 и 5z" - И -1, Но нам представляется, что проще изложенный выше метод вычисления остатка R (и>

бытка Р), а по нему - искомого полинома a(z) на основе формулы (6.42).

Конечно, вместо операции деления в формулах (6.42) . . . (6.44) удобно использовать метод Гаусса выравнивания старших коэффициентов векторов, не требующий нахождения мультипликативных обратных, а основанный только на операциях умножения и сложения (см. модифицированный алгоритм Евклида в § 2.3). Так, полином локаторов o(z) можно вычислить по следующей рекурсии:

при начальных условиях a i (z) = 0; ао (z) = 1. На последнем шаге / = X., когда степень очередного остатка г становится меньше 0,5 w, полагаем a(z) = aj(z). В рассматриваемом примере для вектора S = = 8,13,7,13,15,15 последовательно получаем:



Oliz) =qi(z)ao(z) = (9,14); аз (2) =q2iz)oi{z) +ao(2) = (9,14). (12,11)+ 1= (5,2,3),

T. e. a/(2) =52 -Iz -3.

Аналогично для вектора 5 = 15,15,13,7,13,8 находим:

1 (2) =1 (2)ао(2) = (2,2); аз (2) (z)ai (z) + ао (2) =

= (2,2).(9,12) + 1=(10,9,12),

т. e.ajy(2) = 102 +92 + 12 = 8 а/(2).

В обоих случаях получаем те же самые значения Of(z) и о(г), что и раньше.

Пример 6Э. Примем теперь синдром S с его продолжениями в качестве спектра Е ошибок, полагая Е - Sf,i = 1,2,..., 15 = О (mod 15), т. е.

Е = (Eq, El, Е2, Ez, £4, Es, Eq, Ej, Es, E9, Ею, Ец, Ец, Ei, E14) = = (9, 8, 13, 7, 13, 15, 15, 1, О, 14, 11, 9, 5, 12, 1 ).

Найдем обратное ФМС-преобразование для вектора Е, воспользовавшись той же методикой, что и при кодировании в частотной области (см. § 6.3)- Перекомпонуем вектор Е согласно последовательности (4.9а):

Е = (Ео, Ез, EfE, Ei2> Es, Es, Ец, Ei, E2, Ею* Еуз, Ei, E, Ej ) = = (9, 7, 15, 14, 5, 15, 0, 9, 1, 13, 11, 12, 8, 13, 1 ) =

= (Ео, El, E2, E2, E4, E, E, Et, Es, E, Ею, Ец, E12, Е[з, El) .

Затем умножив вектор Е* на матрицу В (рис. 4.14), найдем промежуточные величины 2,- из системы соотношений (5.87), в которых символы V, заменяются на Ef, а числовые данные (относящиеся к другому примеру) в правой части игнорируются. В результате выкладок, проводимых по правилам поля GF (2), получим:

0=8; 21 = 2; 22 = 11; 23 = 5; 24 = 14; Zs = 0; z = 0; 27 = 0; 28 = 0; 29 = 0; 2io = 12; Zn = 12; 212 = 12; 213 = 12; 214 = 12.

Далее, умножив вектор z = (20, ,214) на матрицу Л (рис. 4.14)

или, что то же самое, воспользовавшись выражениями для (5.88), найдем компоненты вектора у.

Уо = 0; уг 0; У2 = 8; уз = 0; у =0; ys = 0; у = 0; Уп = 0;

У = 0; У9 = 0; jio = 12; уц = 0; ji2 = 0; yi3 = 0; jh = 0.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [88] 89 90 91 92 93 94


0.0862